 |
| The Dice Players, by Simo Gomez (1845 - 1880) |
Τον 17ο αιώνα, οι Γάλλοι παίκτες τυχερών παιχνιδιών στοιχημάτιζαν πολλές φορές στο ενδεχόμενο: Όταν ένα ζάρι ριχτεί 4 φορές, ποιά είναι η πιθανότητα να εμφανισθεί τουλάχιστον ένας άσσος. Ένα άλλο τυχερό παιχνίδι που έπαιζαν ήταν στην περίπτωση όπου ένα ζευγάρι από ζάρια ριχνόταν 24 φορές και ενδιέφερε η πιθανότητα να εμφανισθούν άσσοι τουλάχιστον μία φορά.
Ο Chevalier De Méré (ή αλλιώς
Antoine Gombaud), ένας Γάλλος ευγενής της περιόδου εκείνης, πίστευε ότι τα δύο παραπάνω ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Η λογική του για το πρώτο παιχνίδι ήταν η εξής:
• Σε ένα ρίξιμο ζαριού, η πιθανότητα άσσου είναι 1/6.
• Σε τέσσερις ρίψεις του ζαριού, η πιθανότητα τουλάχιστον ενός άσσου είναι 4 φορές το 1/6=2/3.
Για το δεύτερο παιχνίδι, χρησιμοποίησε το εξής επιχείρημα:
• Όταν ρίξει κανείς ένα ζευγάρι ζάρια, η πιθανότητα άσσων είναι 1/36.
• Επομένως, σε 24 ρίψεις ενός ζευγαριού ζαριών, η πιθανότητα να πάρει κανείς τουλάχιστον ένα ζευγάρι άσσων είναι 24 φορές το 1/36=2/3.
Με την παραπάνω επιχειρηματολογία, οι πιθανότητες για τα δύο αυτά τυχερά παιχνίδια ήταν ίδιες, δηλαδή 2/3. Η εμπειρία, όμως, είχε δείξει ότι το πρώτο ενδεχόμενο είναι περισσότερο πιθανό να εμφανισθεί από ότι το δεύτερο. Η αντίφαση αυτή έγινε γνωστή ως το παράδοξο του Chevalier De Méré, και οφειλόταν στην λανθασμένη χρήση της έννοιας των αμοιβαία ξένα μεταξύ τους ενδεχομένων.
Ο De Méré ρώτησε τον φιλόσοφο
Blaise Pascal για το πρόβλημα αυτό και ο Pascal το έλυσε με την βοήθεια ενός φίλου τουτου
Piere de Fermat. (Ο Fermat ήταν δικαστής και ταυτόχρονα μέλος του κοινοβουλίου που είναι γνωστός σήμερα για την έρευνα στα μαθηματικά που έκανε αργά το βράδυ μετά τις άλλες ασχολίες του). Ο Fermat αντελήφθη ότι ο De Méré προσέθετε πιθανότητες για ενδεχόμενα τα οποία δεν ήταν ξένα μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα, εάν κανείς προχωρούσε την επιχειρηματολογία του De Méré λίγο περισσότερο, θα μπορούσε να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η πιθανότητα να έχει κανείς ως αποτέλεσμα άσσο σε 6 ρίψεις ενός ζαριού είναι 6/6 ή, ισοδύναμα, 100%, κάτι που θα έπρεπε να είναι λάθος. Το ερώτημα που τίθεται είναι πώς να υπολογίσει κανείς σωστά τις πιθανότητες αυτές. Σε τέσσερις ρίψεις ενός ζαριού, υπάρχουν 6 στην τετάρτη = 1.296 δυνατά αποτελέσματα. Σε 24 ρίψεις ενός ζεύγους ζαριών υπάρχουν, 36 στην 24η ≈2.2×10 στην 37η αποτελέσματα. Ο υπολογισμός όμως των ευνοϊκών ενδεχομένων σε κάθε μια από τις δύο περιπτώσεις είναι αρκετά δύσκολος.
Ας δούμε όμως τον συλλογισμό του De Méré.
Στο πρώτο από τα παιχνίδια, αν Α, Β, Γ και Δ είναι τα ενδεχόμενα άσσου στην πρώτη, δεύτερη, τρίτη και τέταρτη δοκιμή αντίστοιχα, μας ενδιαφέρει η P(A∪B∪Γ∪Δ), δηλαδή η πιθανότητα άσσου σε μια τουλάχιστον από τις τέσσερις δοκιμές.
Ο De Méré, θεώρησε έμμεσα ότι τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ, Δ είναι ξένα μεταξύ τους και κατέληξε ότι P(A∪B∪Γ∪Δ) = P(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) + Ρ(Δ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να περιγράψει την επιχειρηματολογία του De Méré στο δεύτερο πρόβλημα. Ο τρόπος και οι σκέψεις που ο Pascal και ο Fermat χρησιμοποίησαν για να επιλύσουν σωστά το πρόβλημα δεν έχει καταγραφεί στην ιστορία. Ιστορικά στοιχεία όμως για την αλληλογραφία του Pascal και του Fermat μπορεί κανείς να βρει στο βιβλίο του David, F.N. Games, Gods and Gambling. Griffin, 1962. Ο Pascal και ο Fermat έλυσαν το πρόβλημα με ένα έμμεσο μαθηματικό συλλογισμό.
Θα μπορούσε όμως κανείς να φαντασθεί τον διάλογο του Pascal και του Fermat ως εξής:
Pascal. Ας κοιτάξουμε πρώτα το πρώτο παιχνίδι.
Fermat. Η πιθανότητα να κερδίσει κανείς είναι δύσκολο να υπολογισθεί, γι’ αυτό, ας δουλέψουμε με την πιθανότητα του αντίθετου ενδεχομένου, δηλαδή του ενδεχομένου να χάσει. Τότε, η πιθανότητα να κερδίσει είναι 100% - την πιθανότητα να χάσει.
Pascal. Συμφωνώ. Ο παίκτης θα χάσει όταν σε καμιά από τις 4 ζαριές δεν έλθει άσσος. Πώς όμως υπολογίζουμε αυτήν την πιθανότητα;
Fermat. Δεν είναι δύσκολο. Ας αρχίσουμε με το ρίξιμο ενός ζαριού. Ποιά είναι η πιθανότητα ότι στο πείραμα αυτό το αποτέλεσμα δεν θα είναι άσσος;
Pascal. Θα πρέπει το αποτέλεσμα να είναι ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6. Επομένως, η πιθανότητα είναι 5/6.
Fermat. Ωραία. Και ποιά είναι η πιθανότητα ότι στις δύο πρώτες ζαριές το αποτέλεσμα δεν θα είναι άσσος;
Pascal. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιαστικό κανόνα. Η πιθανότητα ότι και στην πρώτη ζαριά και στην δεύτερη ζαριά δεν θα υπάρχει άσσος είναι 5/6 × 5/6 = (5/6)στη δευτέρα. Αυτό, γιατί οι ζαριές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, έτσι δεν είναι;
Fermat. Τί θα γίνει με τρεις ζαριές;
Pascal. Προφανώς, θα είναι 5/6 × 5/6 × 5/6 = (5/6) στην τρίτη
Fermat. Εντάξει. Τί γίνεται με τέσσερις ζαριές;
Pascal. Θα πρέπει να είναι (5/6)στην τετάρτη
Fermat. Ναι. Και αυτό είναι περίπου 0.482 ή 48,2%.
Pascal. Επομένως, η πιθανότητα να χάσει κανείς αυτό το παιχνίδι είναι 48,2% και η πιθανότητα νίκης είναι 100% - πιθανότητα να χάσει κανείς = 100% - 48,2% = 51,8%.
Fermat. Ωραία. Αυτό δίνει την λύση στο πρώτο παιχνίδι. Η πιθανότητα δηλαδή λύσης είναι λίγο περισσότερο από 50%. Ας δούμε τώρα το δεύτερο παιχνίδι.
Pascal. Σε μια ζαριά με δύο ζάρια, υπάρχει 1/36 πιθανότητα άσσων και 35/36 πιθανότητα να μην έχουμε άσσους. Επομένως με, τον πολλαπλασιαστικό κανόνα, σε 24 ζαριές δύο ζαριών, η πιθανότητα να μην έχουμε άσσους θα πρέπει να είναι (35/36) στην 24η
Fermat. Ωραία. Αυτό είναι 50.9% και αυτό αποτελεί την πιθανότητα να χάσει κανείς. Επομένως, πιθανότητα κέρδους = 100% - πιθανότητα να χάσει κανείς = 100% - 50.9% = 49.1%.
Pascal. Πράγματι και αυτό είναι λίγο λιγότερο από 50%. Γι’ αυτό, παρατηρούμε λιγότερες φορές νίκης στο δεύτερο παιχνίδι από ό,τι στο πρώτο. Χρειάζεται, όμως, να επαναλάβει κανείς πολλές φορές το παιχνίδι για να διαπιστώσει τη διαφορά.
[...]
Σημείωση 3: Το παράδειγμα αυτό αποτελεί κλασσική περίπτωση χρησιμοποίησης μιας στρατηγικής υπολογισμού των πιθανοτήτων. Αν είναι δύσκολο να υπολογίσει κανείς την πιθανότητα ενός ενδεχομένου, βρίσκει την πιθανότητα του συμπληρωματικού του ενδεχομένου και στην συνέχεια την αφαιρεί από την μονάδα.
Εισαγωγή Στα Στατιστική Σκέψη, Τόμος ΙΙ (Αθήνα, 2000)
Ι. Πανάρετος & Ε. Ξεκαλάκη
